Ce qui se passe, c'est que le matin, ton huile de boite est froide, donc plus épaisse. En roulant, ton huile se fluidifie et tes vitesses passent donc plus facilement à chaud. Éventuellement, tu peux faire une vidange de boite et remettre une huile de boite plus fluide.

HS pour une boite, c'est vague!
* ça peut être un synchro (ce qui permet de passer d'une vitesse à une autre) Si il est HS, difficulté permanente pour passer d'une vitesse à une autre, craquement...
* Un pignon cassé -> ta boite glingue dans tous les sens et le morceau  de pignon risque de te fusiller le reste de ta boite.
* Un roulement de boite HS -> Bruits/Grognement dans la boîte

Après, tu as les à coté.
L'embrayage HS -> tes vitesses patinent
ton sélecteur -> tordu -> difficulté permanente pour passer tes vitesses
La gestion électronique diverse (là je ne connais pas)
etc...
Perso je ne pense pas que ta boite soit morte. Je pense juste à ton huile, plus épaisse le matin vu les températures basses. Il suffit en plus qu'elle dorme dehors pour augmenter le phénomène.

Une boîte est rarement totalement HS. Disons plutôt que de nos jours on ne les répare plus guère, c'est différent.

Les symptômes de fatigue se manifestent généralement en premier sur les vitesses les plus utilisées (donc ça dépend de l'usage de chacun). Par exemple le passage 3-2 devient difficile ou la vitesse ne tient plus etc ...

Une vidange ne peut pas lui faire de mal mais il faut simplement te conformer aux prescriptions du constructeur en matière de viscosité, si les vitesses passent mal avec l'huile prévue d'origine c'est que le problème est ailleurs que dans l'huile. Par temps de grand froid c'est normal jusqu'à un certain point mais pas au point d'empêcher le passage.

Avant d'incriminer la boîte (sauf cas typique par exemple d'une vitesse qui saute ou de bruits de roulement ou de grognement) il faut s'assurer que quand tu appuies sur ta pédale d'embrayage l'action soit complète (cfr sujet récent sur la purge). Le fluide hydraulique a une facheuse tendance à absorber l'humidité et n'est donc pas éternel. Un test simple à faire quand l'auto roule encore avant un arrêt tu dois pouvoir rentrer la 1ère sans que ca ne craque ou sans devoir forcer (pas à 80 km/h on est bien d'accord). Si ce n'est pas le cas soucis de commande voire dans l'embrayage lui-même.

Le volant moteur peut aussi être en cause dans le cas d'un bi-masse, mais dans ce cas généralement ça s'accompagne de vibrations qui n'existaient pas auparavant.

Après évidemment si la boîte a vraiment un défaut mécanique ça ne serait en effet que quand elle sera ouverte que tu feras la découverte.

Que pensez vous des seringues vendues sur ebay?

N'oublie pas que nous sommes proches de Noël, des vacances... Patience...